Hipoteza Riemanna

18 lutego 2005 dowiedzieliśmy się o odkryciu największej jak dotąd liczby pierwszej. Co z tego wynika? Wiele, bo dzięki liczbom pierwszym działa internet, nasze maile są strzeżone, a na świecie jest bezpieczniej.

Informacje o tym odkryciu brzmiały rzeczywiście sensacyjnie. Dr Martin Nowak w pełni sobie zasłużył na miejsce na pierwszych stronach gazet, gdyż wskazanie nowej, składającej się z 7 816 230 cyfr liczby pierwszej - to kolejny milowy krok człowieka na drodze do rozwiązania jednej z najstarszych, sięgających czasów starożytnych, zagadek nauki.

Geniusz Euklidesa

Najpierw krótka powtórka z matematyki: liczba pierwsza to taka, którą można podzielić bez reszty wyłącznie przez nią samą lub przez jeden. Tak więc 21 nie jest liczbą pierwszą, bo dzieli się przez 3 i 7, ale już 3 i 7 są liczbami pierwszymi, ponieważ nie mają innych dzielników oprócz jedynki i siebie samych. Można powiedzieć, że liczby pierwsze są podstawowym budulcem matematyki, numerycznym odpowiednikiem atomów. Tak jak cząsteczkę wody można rozbić na dwa atomy wodoru i jeden tlenu, tak też liczby naturalne, np. 90, da się rozbić na "elementarne cegiełki": 2, 3, 3 i 5, ponieważ 233*5=90. Dogłębne zrozumienie liczb pierwszych prowadzi do lepszego zrozumienia wszystkich liczb.

Jednym z pierwszych badaczy tych liczb był Euklides, żyjący ok. 300 lat p.n.e. w Aleksandrii. Zauważył on, że im większe wartości na osi liczbowej, tym rzadziej występują liczby pierwsze. Na przykład, między 10 a 20 są cztery liczby pierwsze (11, 13, 17, 19), natomiast między 110 a 120 jest już tylko jedna (113). Zastanawiał się, czy w pewnym momencie liczby te się wyczerpują, czy też ciągną się do nieskończoności.

Euklides dokonał w końcu jednego z najbardziej genialnych i doniosłych odkryć w nauce: udowodnił, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Na początek jednak założył coś przeciwnego, a więc że istnieje skończona lista liczb pierwszych. Załóżmy, że 2 i 3 to jedyne liczby pierwsze na świecie. Jeśli jednak je pomnożymy (23) i dodamy 1, otrzymamy 7. Oczywiście 7 nie dzieli się ani przez 2, ani przez 3, otrzymaliśmy więc nową liczbę pierwszą. Nasza lista wciąż nie jest kompletna, ponieważ możemy pomnożyć wszystkie znane nam liczby pierwsze (23*7), dodać 1 i otrzymamy 43 - znów znaleźliśmy liczbę pierwszą. Wywód Euklidesa wymaga uściślenia, niemniej jednak udało mu się zilustrować to, że jeśli pomnożymy elementy każdego zbioru liczb pierwszych przez siebie i dodamy 1, możemy wykazać, że zbiór ten nie jest zbiorem zamkniętym.

Jeśli istnieje nieskończenie wiele takich liczb, dlaczego tak trudno jest znaleźć nowe, większe liczby pierwsze? Im wyższe wartości, tym rzadziej pojawiają się liczby pierwsze; istnieją całe "jałowe" obszary na osi liczbowej, na których nie znajdziemy żadnej takiej liczby. Zdarzają się "oazy", w których ukrywa się pojedyncza interesująca nas liczba, ale ich zlokalizowanie to w dużej mierze kwestia przypadku. Rozkład liczb pierwszych wydaje się nie podlegać żadnym prawidłowościom.

Hipoteza Riemanna

Tu właśnie dochodzimy do największej zagadki związanej z liczbami pierwszymi, czyli do hipotezy Riemanna. W 1859 r. niemiecki matematyk Bernhard Riemann sformułował przypuszczenie dotyczące przybliżonego rozkładu liczb pierwszych, ale przez prawie 150 lat nikomu nie udało się dowieść jego prawdziwości. Jest to bez wątpienia największa nierozstrzygnięta zagadka matematyki.

Jeśli oczekujecie, że przedstawię jakieś wymierne korzyści tych poszukiwań, oto one: współczesna kryptografia opiera się na ciekawej właściwości liczb pierwszych: stosunkowo łatwo jest je pomnożyć (7*13 = ?), ale znaleźć odpowiedź na pytanie, jakie dwie liczby pierwsze pomnożone przez siebie dadzą konkretny wynik, jest o wiele trudniej (? x ? = 323). W przypadku bardzo dużych liczb zadanie staje się praktycznie niemożliwe - i właśnie dlatego możemy tworzyć kody nie do złamania.

Dzięki tym kodom i matematyce liczb pierwszych możemy przesyłać dane o kartach kredytowych przez internet, co z kolei wpływa na rozwój handlu elektronicznego, bardziej efektywne zarządzanie firmami, na obniżenie inflacji, silniejszą gospodarkę i bogacenie się społeczeństwa. Również dzięki liczbom pierwszym możliwe jest kodowanie e-maili i ochrona ich zawartości przed niepożądanymi spojrzeniami; możemy chronić naszą prywatność. A w skali globalnej, kody zbudowane z liczb pierwszych służą do szyfrowania rządowych i wojskowych połączeń telefonicznych i pozwalają na zabezpieczenie się przed podsłuchem. Nie bez powodu Amerykańska Agencja Bezpieczeństwa zatrudnia najwięcej matematyków na świecie.

Kasa Claya

Jeśli ktoś chciałby zarobić na liczbach pierwszych dość pokaźną sumę, proszę bardzo: RSA, amerykańska firma zajmująca się szyfrowaniem, oferuje 20 tys. dolarów dla śmiałka, który zdoła ustalić, jakie dwie liczby pierwsze pomnożone przez siebie dają

31074182404900437213507500358885679300373460228427275457201619
48823206440518081504556346829671723286782437916272838033415471
07310850191954852900733772482278352574238645401469173660247765
2346609.

Znalezienie tych niewiadomych pomogłoby zwiększyć moc istniejących kodów.

Aby zdobyć duże pieniądze, wystarczy udowodnić hipotezę Riemanna. Instytut Matematyki Landona Claya z Massachusetts oferuje milion dolarów za ten najważniejszy dowód współczesnej matematyki. Jego autor nie tylko się wzbogaci, ale też zyska sławę najbliższą nieśmiertelności. Teorie naukowe często okazują się błędne lub są z biegiem lat korygowane, ale twierdzenia matematyczne są wieczne. Śmiejemy się z pitagorejskich koncepcji medycyny, ale twierdzenie Pitagorasa nadal obowiązuje na lekcjach matematyki w szkołach.

   
    5


poprzednie Czy wiesz, że możesz użyć kursorów w lewo / prawo ? następne

Najlepszy komentarz:

dragonn 06 stycznia 2014 12:03
0  1

Ale warto dodać że problem z rozbijaniem liczb na liczby pierwsze zostanie rozwiązany wraz z upowszechnieniem się komputerów kwantowych które są w stanie "zgadnąć" jakie to są liczby (zwykły komputer potrafi tylko sprawdzić ogromną ilość możliwości i liczyć na to że trafi). Na dany moment jest to jednak technologia bardzo odległa - największą liczbą którą udało się rozbić na liczby pierwsze przy pomocy wykorzystania prototypów komputera kwantowego to liczba 21 - ale komputer to obliczenie wykonał w trakcie jednego cyklu działania, co w przypadku tradycyjnych komputerów jest kompletnie nie wykonywalne, potrzebujemy przynajmniej kilkanaście cyki procesora żeby rozbić taką liczbę.

Podobne:



dragonn 06 stycznia 2014 12:03
0  1

Ale warto dodać że problem z rozbijaniem liczb na liczby pierwsze zostanie rozwiązany wraz z upowszechnieniem się komputerów kwantowych które są w stanie "zgadnąć" jakie to są liczby (zwykły komputer potrafi tylko sprawdzić ogromną ilość możliwości i liczyć na to że trafi). Na dany moment jest to jednak technologia bardzo odległa - największą liczbą którą udało się rozbić na liczby pierwsze przy pomocy wykorzystania prototypów komputera kwantowego to liczba 21 - ale komputer to obliczenie wykonał w trakcie jednego cyklu działania, co w przypadku tradycyjnych komputerów jest kompletnie nie wykonywalne, potrzebujemy przynajmniej kilkanaście cyki procesora żeby rozbić taką liczbę.

Istvan 09 stycznia 2014 18:18
0  1

@dragonn: A to tylko dlatego że komputer kwantowy może mieć stan pośredni między binarnym 0 i 1. Czyli takie kobiece "Nie wiem, domyśl sie"

petro 06 stycznia 2014 21:43
0  0

"CHumaniści" minusują? :-P

Cisse 06 stycznia 2014 22:13
0  1

Tekst nieaktualny zarówno we fragmencie mówiącym o "podstawowym budulcu" jak i w miejscu gdzie przedstawiono zadanie RSA-640, które rozwiązał zespół Bahr, Franke, Boehm i Kleinjun. Ale wklejaj tego więcej, im więcej wiedzy tym lepiej. Swoją drogą ciekawostką jest fakt że znacznie lepiej niż komputer z takimi liczbami radzą sobie ludzie z zespołem Aspergera, autyzmem i pod wpływem środków psychodelicznych.

petro 06 stycznia 2014 23:23
0  0

@Cisse: Rzeczywiście muszę uaktualnić jeszcze to, że największa odkryta dotąd liczba pierwsza liczy sobie 17 425 170 cyfr w zapisie dziesiętnym i została ona odkryta 25 stycznia 2013 roku przez Curtisa Coopera – uczestnika projektu GIMPS.
Natomiast co do "podstawowego budulca" to jest to aktualne, bo odnosi się do twierdzenia (udowodnionego przez Gaussa), że każda liczba naturalna większa od 1 daje się jednoznacznie zapisać w postaci iloczynu skończonego niemalejącego ciągu pewnych liczb pierwszych. Inaczej mówiąc, oznacza to, że liczby pierwsze są w pewnym sensie atomami, z których przy pomocy mnożenia zbudowane są pozostałe liczby.

Zobacz też

ISS...
Lawa...
Rio Tinto
Hashima – martwa wyspa
Artystyczna wizja egzoplanety Kepler-76b
Układ słoneczny...
leczniczy korzeń
Green Mantle butterfly (Caria mantinea)
Gepard - Zabójcza szybkość
Mala buddyjski i nie tylko odpowiednik różańca
Klimkówka 18.05.2013
Topografia księżyca